Modelo del equilibrio de Nash

Los equilibrios de Nash (definidos por John Forbes Nash) forman parte de la teoría de juegos y son muy empleados en la economía, se definen como una manera de obtener una estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores.

Los equilibrios de Nash (definidos por John Forbes Nash) forman parte de la teoría de juegos y son muy empleados en la economía, se definen como una manera de obtener una estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores. La idea que se persigue con este tipo de equilibrios es verificar un conjunto de estrategias, por las cuales ningún jugador se beneficie cambiando su estrategia mientras los otros no cambien la suya. Este concepto hizo su aparición por primera vez cuando Nash lo enunció en su conferencia “Non Cooperative Games” de 1950.

A través de este postulado Nash fue demostró que si permitimos estrategias mixtas (en las que los jugadores pueden escoger estrategias al azar con una probabilidad predefinida), entonces todos los juegos de n jugadores en los que cada jugador puede escoger entre un número finito de estrategias tienen al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas. De esta manera si el juego tiene un único equilibrio de Nash (considerando a los jugadores racionales), los jugadores escogerán las estrategias que forman el equilibrio.

A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias , que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por las ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumento de ganancias para unos y una baja para otros.

Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se puede calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le acuerda un estatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nash estableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se habla entonces de la existencia de equilibrios de Nash .

Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que está en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un cambio unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y sin que ello tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde.

En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se puede mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de varios jugadores.

El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros. Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash.

Los equilibrios de Nash no necesariamente son eficientes en el principio de Pareto, ya que, lo eficiente en términos paretianos sería los jugadores tomen las mismas decisiones y por lo tanto no se perjudique ni uno ni otro, pero esto no ocurre por lo general ya que suelen fallar los niveles de coordinación y las decisiones se toman simultáneamente. Otros juegos más complejos pueden ser dinámicos, es decir que se repite el juego muchas veces, y/o pueden ser secuenciales, o sea donde primero decide un jugador y luego juega el otro pero conociendo lo que ha elegido el anterior. Cada variante puede llevar a distintos tipos de equilibrios..

Existen juegos en que puede haber más de un equilibrio de Nash, o bien no haber ningún equilibrio. En el siguiente Modelo de Juego (conocido como Guerra de los Sexos), existe más de un equilibrio de Nash:

En las celdas figura la utilidad que obtiene cada uno por asistir a un partido de fútbol, o bien por ir a la casa de las amigas de Marta a tomar el té. Esta pareja no obtiene ninguna utilidad si van separados pues les gusta estar juntos, pero a Julio le da mayor utilidad (obviamente) ver un partido y a Marta le da mayor utilidad (inexplicablemente) tomar el té con las amigas. Aquí existen dos equilibrios de Nash (1,2) y (2,1) y no hay forma de elegir con cual quedarse. Estos equilibrios se llaman equilibrios con estrategias puras. Una forma de resolverlos es utilizar estrategias mixtas, que tienen en cuenta la probabilidad esperada por cada jugador de que el adversario efectúe determinada jugada. Aquí, el equilibrio de Nash con estrategias puras no permite hacer ninguna predicción.

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