Juegos en forma cooperativa

Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones a contratos plausibles, lo que significa que un contrato está muy relacionada con la estabilidad.

Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones a contratos plausibles, lo que significa que un contrato está muy relacionada con la estabilidad.

Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo antes de los pagos, la problemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una alianza entre los jugadores, de que la alianza se mantenga estable y como se repartiran las ganancias entre los jugadores que participan de dichas alianzas, con el fin de que ninguno pretenda abandonar la coalición.

Juego 1, Empecemos con el ejemplo más sencillo. Supongamos que tres jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien euros. El sistema de reparto tiene que ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los pagos entre los tres jugadores:

Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33.
Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50
Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66.

A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.

El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.

Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.

Juego 2, modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de «un hombre un voto» consideremos que hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.

En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos de 100 euros y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.

Definición : Se llama «valor del juego» al pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.

En el juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es cero.

Juego 3, pongamos un ejemplo algo más realista y, por tanto, un poco más complejo. Se presenta el caso de un Municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de concejales:

PA=11
PB=8
PC=5
PD=2
PE=1

Si se da el caso que no hay un partico que se demuestre con una mayoría absoluta, es necesario que se forme una alianza de partidos para gobernar el Municipio. Considere que el presupuesto anual del Municipio asciende a 520 millones de euros, cifra nada despreciable. La alianza gobernante debe asignar cargos y responsabilidades del Ayuntamiento a los diferentes partidos de tal forma que queden satisfechos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Supondremos, para simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas.

Análisis del juego 3. Vemos que el total de concejales es 27, la alianza vencedora debe contar por lo menos con 14 votos. A diferencia del juego 2, no hay ningún jugador imprescindible para ganar. Si empleamos el concepto que enunciamos en líneas superiores, el valor del juego para todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la alianza vencedora.

Definición: Se conoce como «valor de Shapley» a la alicuota que recibe cada jugador en un proyecto de distribución según un criterio de arbitraje. Sistema creado por Lloyd S. Shapley mediente el cual se asigna un pago a cada jugador en proporción al número de alianzas que se muestren con una tendencia vencedora en las que el jugador participa de forma no repetitiva.

Un jugador es repetitivo en una coalición si no es imprescindible para que esa coalición resulte vencedora.

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