Juegos Normales y Extensivos

Un juego requiere la participación de dos jugadores y es la representación gráfica de cualquier proceso de negociación. La forma normal o forma estratégica para representar a un juego es una matriz del tipo dos por dos que muestra a los jugadores, las estrategias, y las ganancias.

Un juego requiere la participación de dos jugadores y es la representación gráfica de cualquier proceso de negociación. La forma normal o forma estratégica para representar a un juego es una matriz del tipo dos por dos que muestra a los jugadores, las estrategias, y las ganancias.

En un juego “normal” se presentan dos jugadores; el primero de ellos eligirá una fila y otro jugador la columna, esto al final es irrelevante puesto que tanto uno como otro tendran la oportunidad de negociar. Cada jugador tiene dos estrategias, que están especificadas por el número de filas y el número de columnas. Las ganancias se especifican en el interior de la matriz. El primer número es la recompensa recibida por el jugador de las filas (el Jugador 1 en nuestro ejemplo de más abajo); el segundo es la recompensa del jugador de las columnas (el Jugador 2 en nuestro ejemplo). Si el jugador 1 elige arriba y el jugador 2 elige izquierda entonces sus ganancias son 4 y 3, respectivamente.

Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que todos los jugadores actúan simultáneamente sin saber la elección o decisión del otro jugador. Si los jugadores tienen alguna información acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta habitualmente en la forma extensiva.

También existe una forma normal reducida. Ésta combina estrategias asociadas con el mismo pago. La matriz que presentamos como ejemplo se presenta a continuación:

Juegos en forma estratégica (normal)

En juegos de forma normal, los jugadores mueven simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y finito, el juego puede ser representado por una matriz n x m. Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M acciones posibles. En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el juego es fácilmente analizable. Los juegos n x m dan una idea de cómo puede verse la estructura de un juego mas complejo.

La matriz de resultados de un juego representa el resultado del juego en una matriz. Supongamos que dos personas, A y B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir “arriba” o “abajo”, mientras que B puede elegir “izquierda” o “derecha”. Los resultados del juego se representan en la matriz de resultados la cual estará compuesta por los siguientes datos:

Arriba / izquierda = (50,100)
Arriba / derecha = (0,50)
Abajo /izquierda = (100,50)
Abajo / derecha = (50,0)

Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.

Juegos en forma extensiva (árbol).

El árbol de juegos es una representación de un juego que describe la estructura temporal de un juego en forma extensiva. EL primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena conectada de ramas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito, en el nodo terminal. Los nodos representan los posibles movimientos en el juego. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador de modo que se sabe quién hace la elección en cada movimiento. Cada nodo terminal informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termina en ese nodo.

En la figura siguiente, podemos apreciar dos jugadores 1 y 2, que participan en un juego. En primer lugar, el jugador 1 decide ir a la izquierda (I) o a la derecha (D). Entonces, el jugador 2 decide ir a la derecha o a la izquierda. Los pagos que corresponden al primer (segundo) jugador son la primera (segunda) componente del vector que tiene asignada cada situación.

Analicemos como deben jugar 1 y 2. El jugador 2, teniendo en cuenta los pagos que recibiría al terminar el juego, debe elegir la siguiente estrategia: si el jugador 1 elige I, ir a la derecha eligiendo d 1 ; y si 1 elige D; elegir i 2 : Esta estrategia se denotará d 1 i 2 : El jugador 1 conoce el árbol y los pagos, luego puede anticipar la conducta del jugador 2 y debe elegir D:

El par de estrategias (D; d 1 i 2 ) da lugar a un escenario en el que el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2 recibe 8.

¿Puede alguno de los jugadores mejorar sus pagos?

En el ejemplo que estamos analizando, el jugador 1 tiene dos estrategias I y D; mientras que el jugador 2 tiene cuatro estrategias dadas por

i 1 i 2 , i 1 d 2, d 1 i 2 , d 1 d 2

Podemos representar los pagos en la siguiente matriz, cuyas entradas son los vectores de pagos, la matriz quedaría representada por los siguientes datos:

I (5,1) (5,1) (3,2) (3,2)
D (4,8) (6,3) (4,8) (6,3)
Donde el orden de los paréntesis es i1i2, i1d2, d1i2, d1d2

Notemos que las matrices de pagos para los jugadores 1 y 2 son, respectivamente,

El par de estrategias (D; d 1 i 2 ) es un equilibrio de Nash porque ninguna desviación unilateral de los jugadores les permite mejorar sus pagos, dados por (4; 8).

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