Gráficos Económicos Empleando Pendientes

Pendiente de una línea recta

La pendiente de una recta proporciona una medida numérica exacta de la variación que experimenta la variable Y del eje de ordenadas por cada variación unitaria de la variable X del eje de abscisas.

En el gráfico siguiente podemos ver como se calcula la pendiente de una recta. Imaginemos que el paso del punto B al punto D en el gráfico (a) se hace en dos partes; primero a través de un movimiento horizontal de B a C, que indica un aumento de una unidad en el valor de X (sin que varíe Y) y luego a través de un movimiento vertical de C a D que indica una disminución en el valor de Y por una cantidad igual a s (sin que varíe el valor de X). Dado que la pendiente se define como el valor de la altura entre la base, en el ejemplo el valor de la pendiente de la recta ABDE es -s, que es la división de s la longitud del segmento CD (la altura) entre 1 que es el valor de longitud del segmento BC (la base). El signo negativo indica que un aumento en el valor de X lleva a una disminución en el valor de Y, y viceversa (una disminución en X lleva a un aumento en Y) por lo que en este caso decimos que existe una relación inversa entre la variable X y la variable Y, es decir las variables se mueven en sentido opuesto.

(a) Relación Inversa

En el caso del gráfico (b) el valor de la pendiente sería s pues un aumento en el valor de X lleva a un aumento en el valor de Y y viceversa (una disminución de X lleva a una disminución de Y) por lo que decimos que en este caso existe una relación directa entre la variable X y la variable Y, las variables se mueven en el mismo sentido.

(b) Relación Directa

Es importante señalar que la variación en el valor de X en una unidad en el ejemplo presentado se ha hecho por razones metodológicas. La definición de la pendiente, longitud de la altura entre la longitud de la base, es valida para todos los movimientos a través de la recta, es decir para dos puntos cualquiera de la recta, sin importar cual es su magnitud.

A manera de resumen es importante recordar lo siguiente con relación al cálculo de la pendiente en el caso de una línea:

i) La pendiente de una recta proporciona una medida numérica exacta de la variación que experimenta la variable Y por cada variación unitaria de la variable X del eje de abscisas y se calcula como la longitud de la altura dividida entre la longitud de la base.
ii) En el caso de una línea recta la pendiente es constante en todos sus puntos.
iii) La pendiente de una línea indica si la relación entre las variables X e Y es directa o inversa. El valor positivo de una pendiente indica que una relación directa entre las variables, es decir se mueven en el mismo sentido, el incremento (disminución) en una de ellas lleva a un incremento (disminución) de la otra. Un valor negativo de la pendiente indica que la relación es inversa, es decir se mueven en sentido opuesto, el incremento (disminución) en una de ellos lleva a una disminución (incremento) de la otra.

Pendientes de una curva

La pendiente de una curva varía a lo largo de ella. Por ello no podemos hablar de manera general de la pendiente de una curva (como si podemos hacerlo en el caso de una recta, pues su pendiente es constante) sino nos referimos a la pendiente de una curva en un determinado punto. Para calcular la pendiente de una curva en un determinado punto calculamos la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, es decir aquella recta que toca pero no corta a la curvo en dicho punto. Por lo tanto, la pendiente de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

El gráfico siguiente nos ayuda a explicar el procedimiento para el cálculo de la pendiente de una curva en un determinado punto. Para hallar la pendiente de la curva ABDE en el punto B primero trazamos la línea tangente a la curva en dicho punto, en este caso la recta FBJ. Una vez trazada la recta tangente a la curva en este punto procedemos a calcular su pendiente de manera habitual. De manera análoga, para hallar la pendiente de la curva en el punto D, tenemos que hallar la pendiente de la recta tangente en ese punto, es decir tenemos que hallar la pendiente de la recta GDH.

Una forma de curva muy importante en economía son las curvas en forma de U y U invertida. En el caso de una curva en forma de U invertida, como la presentada en el gráfico (a), se observa que la pendiente de la curva es positiva en el tramo ascendente de la curva es ascendente, que va del punto A al punto C y la pendiente es negativa en el tramo descendente de la currva, que va del punto C al punto E. El valor máximo para la variable Y se alcanza en la cima de la curva en donde la pendiente tiene un valor de cero, lo que implica que una pequeña variación de X alrededor de ese punto no tendría un efecto sobre la variable Y.

(a) Curva en forma de U invertida.

El hecho que la curva tenga su valor máximo en el punto en donde la pendiente tiene el valor de cero intuitivamente puede ser entendido de la siguiente manera: si el valor de X fuera menor a aquel que hace que el valor de Y sea máximo estaríamos en el tramo en donde la pendiente es positiva por lo que un incremento en el valor de X llevaría a un incremento en el valor de Y; de manera análoga si el valor de X fuera mayor a aquel que hace que el valor de Y sea máximo estaríamos en el tramo en donde la pendiente es negativa por lo que una disminución en el valor de X llevaría a un incremento en el valor de Y. Por lo tanto si nos ubicamos en cualquier punto fuera de aquel en que el valor de la pendiente es cero siempre sería posible aumentar el valor de Y con variaciones adecuadas en el valor de X, aumentando su valor en el caso en que nos encontramos en el tramo ascendente de la curva y disminuyendo su valor cuando nos encontramos en el tramo descendente de la curva.

(b) Curva en forma de U

Los gráficos han sido obtenidos de: Samuelson, Paul A. Economía, año 2002.

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