Funciones y Correlación

Una función en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades (variables), mientras que una correlación representa la relación clara entre ellas,

Funciones

Una función en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades (variables).

Cuando nos referimos a dos variables X e Y una función nos muestra la manera en que se encuentra relacionadas estas variables de tal manera que al asignar un valor a la variable X entonces, a través de alguna regla o correspondencia, se le asigna automáticamente un único valor a la variable Y. De esta manera a la variable X, a la que se le asignan valores libremente, se le denomina variable independiente, mientras que a la variable Y, cuyos valores depende de X se le denomina variable dependiente.

Una definición alternativa es definir una función como el proceso lógico que se aplica a todo lo que tiene relación a un resultado o efecto (sea medible o no en forma cuantitativa) que comúnmente se expresa como “depende de”.

En ese sentido ejemplos de funciones serían: el valor del consumo mensual de agua potable que depende del número metros cúbicos consumidos durante el mes, el valor de un departamento que depende del número de metros cuadrados construidos, el costo de una llamada telefónica que depende de su duración.

A manera de ejemplo veamos las siguientes listas de números para las variables X e Y:

¿Cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha (los valores de la variable X) con los números de la izquierda (los valores de la variable Y)? La respuesta es sencilla, los números de la derecha son los cuadrados de los números de la izquierda. Por lo tanto la regla para obtener los números de la derecha, los valores de la variable Y es elevar al cuadrado los números de la izquierda, los valores de la variable X. La regla entonces en este ejemplo es “elevar al cuadrado” (en este caso se trata de un regla matemática pero no tiene porque ser la regla de este tipo necesariamente como veremos en un ejemplo posterior).

Para referirse a esta regla por lo general se usa la letra f por lo que en el presente ejemplo se puede emplear la siguiente notación:

Y = f(X) = X2

De tal manera que f(3) significa aplicar la regla f, «elevar al cuadrado», al número 3, para obtener de esta manera el valor de Y asociado a un valor de X igual 3, lo cual nos da un valor de Y igual a 9.

Es importante resaltar y tener presente que cuando nos referimos a funciones, a partir del valor de la variable X obtenemos un único, y sólo un valor para la variable Y. Sin embargo, un valor de la variable Y puede estar asociado a más de un valor de la variable X, como sería en el caso de f(2) y f(-2), pues en ambos casos al elevar al cuadrado nos da un valor de Y igual a 4.

Un ejemplo de una función lo constituye la correspondencia entre la correspondencia entre las personas que trabajan y obtienen un ingreso por su trabajo expresado en unidades monetarias:

En este caso la regla para obtener el valor de la variable Y a partir del valor de la variable X (que en este caso no es un número) sería “el peso de”. Cada persona (perteneciente al conjunto de valores de X) constituye la variable independiente mientras que cada peso (perteneciente al conjunto de valores de Y) constituye la variable dependiente (las unidades monetarias, el valor de la variable Y, depende de que persona se trate, el valor de la variable X). Es importante notar que para cada valor de la variable X, es decir a cada persona, le corresponde un único valor de la variable Y, es decir una única asignación de unidades monetarias, pero que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo salario.

Correlación

Decimos que existe correlación entre dos variables cuando existe una relación clara entre ellas, es decir si los cambios en los valores de una de ellas influye en los valores de la otra. La correlación entre dos variables puede ser positiva o directa cuando al aumentar una variable la otra también tiende a aumentar o negativa o inversa si el incremento en el valor de una variable hace que la otra tienda a crecer o a disminuir.

En el siguiente ejemplo presentamos la demanda de dos productos inmobiliarios (casa y departamento) en relación a un grupo de 10 personas:

A continuación presentamos el gráfico de dicha información en un diagrama de dispersión:

En este ejemplo, vemos que a medida que aumenta la demanda de las personas por casas la demanda que se obtiene por departamentos también tiende a aumentar por lo que en este caso hablamos de una correlación directa o positiva.

Un concepto adicional relacionado con la correlación es el que se refiere a la existencia de Correlación Lineal la cual se presenta cuando los puntos del gráfico de las variables objeto de análisis se distribuyen alrededor de una recta. En ese sentido hablamos de Correlación Lineal Fuerte cuando la nube de puntos graficados se parece mucho a una recta y la correlación lineal será cada vez más débil (o menos fuerte) cuando la nube de puntos vaya alejándose cada vez más de la recta.

La cuantificación del grado de correlación lineal entre dos variables se hace a través del Coeficiente de Correlación el cual se es denotado con la letra r, el cual nos permite ver si la correlación lineal entre dos variables es fuerte o débil y positiva o negativa. El valor de r adopta valores entre -1 y 1 (es decir -1 < r < 1), indicando los valores cercanos a -1 y 1 la existencia de una fuerte correlación negativa y positiva respectivamente, mientras que los valores que se acerca a 0 indican una correlación cada vez más débil y el valor de 0 para el coeficiente de correlación indica la no existencia de correlación (o correlación nula entre las variables).

Mientras el Coeficiente de Correlación se aproxima a los valores 1 y -1 la aproximación a una correlación se considera buena. Cuando más se aleja de 1 o de -1 y se acerca a cero se tiene menos confianza en la relación lineal entre las variables por lo que una aproximación lineal no será apropiada. Sin embargo no significa que no existe relación entre las variables, lo único que podemos decir es que la relación no es lineal.

Sin embargo, es importante tener presente que la existencia de correlación no implica causalidad en el sentido que la correlación indica que existe una relación entre las variables pero no nos indica que una variable cause a la otra.

El concepto de causalidad es importante en economía pues es precisamente a través de la causalidad que se puede inferir el comportamiento de una variable a partir del comportamiento de otra y nos permite la identificación de las variables de control para la realización de políticas económicas.

Por lo tanto, el objetivo del análisis de causalidad es explicar el funcionamiento de un sistema a partir de las relaciones causales del mismo, considerando que para el establecimiento de tales relaciones se requiere de construcciones teóricas, es decir, detrás de toda relación causal debe haber una teoría.

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